Otros máximos en el tiro parabólico

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Cinemática

Movimiento curvilíneo
Magnitudes cinemáticas
Tiro parabólico
Composición de
movimientos
Apuntar un cañón para
dar en un blanco fijo
Bombardear un blanco
móvil desde un avión
Tiros frontales 
a canasta
Alcance máximo en el
plano horizontal
Alcance máximo en el
plano inclinado
marca.gif (847 bytes)Otros máximos
Disparo de un proyectil
contra un blanco móvil
Barro que se desprende
de una rueda
Tiro parabólico y
movimiento circular
Torpedo a la caza de
un submarino

Ecuación de la trayectoria

Área encerrada por la trayectoria y el eje horizontal X

Longitud de la trayectoria

Distancia entre el origen del disparo y el proyectil

Referencias

Procedimiento del punto medio

 

En esta página, vamos a estudiar otras propiedades de la trayectoria parabólica que describe un proyectil disparado desde el origen con velocidad v0 haciendo un ángulo θ con la horizontal.

  • La longitud de la trayectoria

  • El área que encierra la trayectoria y el eje horizontal

  • La distancia entre le origen y la posición del proyectil en el instante t.

 

Ecuación de la trayectoria

Se dispara un proyectil con velocidad v0 haciendo un ángulo θ con la horizontal. Las ecuaciones del movimiento son

 

·        a lo largo del eje horizontal X

·        a lo largo del eje vertical Y

Eliminando el tiempo t obtenemos la ecuación de la trayectoria

Alcance

La abscisa R del punto de impacto, denominada alcance se obtiene poniendo  y=0 en la ecuación de la trayectoria

El máximo valor de R se obtiene para θ=45º

Tiempo de vuelo

Poniendo y=0, y despejando t, tenemos dos soluciones t=0, que corresponde al disparo del proyectil y

El valor máximo de T se obtiene para θ=90º. Cuando el proyectil se lanza verticalmente hacia arriba, describiendo una trayectoria rectilínea a lo largo del eje Y.

 

Área encerrada por la trayectoria y el eje horizontal X

En la figura se muestra el área diferencial y·dx. El área total encerrada entre la trayectoria y el eje X se calcula mediante la integral definida.

En la figura, se muestra que el comportamiento del área total A encerrada entre la trayectoria y el eje X con el ángulo de tiro θ. El área aumenta con el ángulo de tiro θ, alcanzando un máximo y luego vuelve a disminuir, hasta que se hace cero cuando θ=90º

Calculamos el máximo de la función f(θ)=sen3θ·cosθ

Tiene sentido solamente el signo positivo, que corresponde al ángulo de tiro θ=60º

Cuando se dispara un proyectil con un ángulo de tiro θ=60º, el área encerrada por la trayectoria y el eje horizontal X es máxima.

 

Longitud de la trayectoria

La longitud del elemento diferencial de la trayectoria (en color rojo en la figura) es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos tienen longitudes dx y dy,  respectivamente.

La longitud total del camino recorrido por el proyectil es

Esta integral es de la forma

su solución se puede consultar en cualquier libro de Cálculo Diferencial e Integral.

Al cambiar la variable de x a u cambian los límites de la integral.

  • El límite inferior se obtiene para x=0, es decir, para u0=tanθ

  • El límite superior se obtiene para x=R, es decir, para u1=-tanθ

Teniendo en cuenta que 1+tan2θ=1/cos2θ

En la figura, se muestra que el comportamiento de la longitud L del camino recorrido por el proyectil con el ángulo de tiro θ. La longitud aumenta con el ángulo de tiro θ, alcanzando un máximo y luego vuelve a disminuir.

Derivamos L(θ) para hallar el ángulo θ para el cual la longitud de la trayectoria es máxima

Tenemos que resolver la ecuación trascendente

La representación gráfica nos indica que el máximo de L(θ) se encuentra entre 50 y 60º

Al final de esta página, se proporciona el código en Lenguaje Java del procedimiento que permite calcular la raíz de la ecuación trascendente por el procedimiento del punto medio. El valor que se obtiene es θm=56.46º

 

Distancia entre el origen del disparo y el proyectil

La distancia d entre el origen O y la posición (x, y) del proyectil en el instante t es

El máximo de esta distancia se obtiene igualando la derivada con respecto al tiempo a cero

Simplificando entre t, calculamos las raíces de la ecuación de segundo grado en t.

Las raíces reales existen cuando el radicando es positivo o nulo

Para ángulos de tiro θ< θ0 la distancia d entre el origen y el proyectil es una función creciente del tiempo, que alcanza su máximo valor cuando impacta en el suelo.

El máximo d es igual al alcance R y ocurre en el instante T=2v0senθ/g que es el tiempo de vuelo.

En el instante t+ la distancia d+ entre el origen y la posición del proyectil vale

En el instante t- la distancia d- entre el origen y el proyectil vale

Comprobamos que

De las dos soluciones de la ecuación de segundo grado t+ y t- solamente hemos de tener en cuenta la segunda, ya que d->d+ para θ>θ0=70.5º .

Verificamos que el instante t- es menor que el tiempo de vuelo T

Comparamos ahora d- con el alcance R. Vamos a determinar el ángulo θ1  a partir del cual d- es mayor que R

La ecuación

11x8-31x6+28x4-7x2-1=0

Tiene dos raíces reales dobles x=1 y x=-1

11x8-31x6+28x4-7x2-1=(x-1)2 (x+1)2(11x4-9x2-1)

Resolvemos la ecuación bicuadrada

11x4-9x2-1=0  haciendo el cambio de variable z=x2

11z2-9z-1=0 

La raíces reales son x=±0.95775, que corresponden al ángulo θ=±arcsenx=±73.3º

Para el ángulo θ≥θ1=73.3º la distancia d- entre le origen y la posición del proyectil en el instante t- es mayor que el alcance R

 

En la figura se muestra, el instante tm para el cual la distancia d entre el proyectil y el origen es máximo. Para θ<θ1=73.3º esta distancia es el alcance R y el tiempo tm=T al tiempo de vuelo. Sorprendentemente, la curva presenta una discontinuidad en θ=θ1. A partir de este ángulo θ>θ1, el instante tm=t- y la distancia máxima dm=d-. Las expresiones de t- y d- en función del ángulo de tiro θ las hemos deducido en este apartado.

Ejemplo:

  • Sea θ=71º>70.5º.

El alcance vale

El tiempo de vuelo

El valor máximo de la distancia dm entre el origen y el proyectil se produce en el instante

que es menor que el tiempo de vuelo T

Calculamos la posición del proyectil en el instante tm

xm=v0·cosθ·tm=0.427·v02/g
ym
= v0·senθ·tm-gtm2/2=0.380·v02/g

que es menor que el alcance R.  Luego, para un ángulo de disparo de 71º, la máxima distancia entre el origen y el proyectil se produce en el instante T  cuando llega al suelo y es el alcance R.

  • Sea θ=75º>θ1=73.3º.

El alcance vale

El tiempo de vuelo

El valor máximo de la distancia dm entre el origen y el proyectil se produce en el instante

que es menor que el tiempo de vuelo T

Calculamos la posición del proyectil en este instante

xm=v0·cosθ·tm=0.293·v02/g
ym
= v0·senθ·tm-gtm2/2=0.452·v02/g

que es mayor que el alcance R

Luego, para un ángulo de disparo de 75º, la máxima distancia entre el origen y el proyectil se produce en el instante tm=1.134v0/g  y vale dm=0.539·v02/g.

 

Actividades

Se introduce

  • El ángulo de tiro, actuando en la barra de desplazamiento titulada Ángulo

  • La velocidad de disparo se ha fijado en v0=60 m/s

Se pulsa el botón titulado Empieza

Cuando el ángulo de tiro θ>θ1=73.3º. El programa interactivo calcula el instante tm para el cual la distancia entre el proyectil y el origen es máxima. Se dibuja el segmento que une ambas posiciones, y se muestra la máxima distancia en la parte superior del applet.

 
CinemaApplet2 aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

 

Referencias

Sarafian H. On projectile motion. The Physics Teacher. Vol 37, February 1999, pp. 86-88

Hu H, Yu J. Another look at projectile motion. The Physics Teacher Vol 38, October 2000, pp. 423

Mirabelli A. A new projectile problem and the attribution of continuity. Am. J. Phys. 54 (3) March 1986, pp. 278-279

 

Procedimiento del punto medio

public class Ecuacion {
	static final double CERO=1e-10;
	static final double ERROR=0.001;
	static final int MAXITER=200;

public static void main(String[] args) {
	double aIni=50*Math.PI/180;
	double aFin=60*Math.PI/180;
	double raiz=puntoMedio(aIni, aFin);
	System.out.println(raiz*180/Math.PI);
}

static double puntoMedio(double a, double b) {
	double m, ym;
	int iter=0;
	do{
		m=(a+b)/2;
		ym=f(m);
		if(Math.abs(ym)<CERO) break;
		if(Math.abs((a-b)/m)<ERROR) break;

		if((f(a)*ym)<0) b=m;
		else a=m;
		iter++;
	}while(iter<MAXITER);
	if(iter==MAXITER){
		System.out.println("No se ha encontrado la raíz");
	}
	return m;
}

static double f(double x){
	double y=1.0-Math.sin(x)*Math.log((1+Math.sin(x))/Math.cos(x));
	return y;
}
}