Oscilaciones de tres partículas unidas por muelles elásticos

prev.gif (1231 bytes)home.gif (1232 bytes)next.gif (1211 bytes)

Oscilaciones

Osciladores acoplados
Dos acoplados
marca.gif (847 bytes)Tres acoplados
Varilla que pende 
 de dos muelles
Péndulo de Wilberforce
El péndulo doble
Péndulo-muelle
De las oscilaciones
a las ondas
Péndulos no acoplados
de distinta longitud

Ecuaciones del movimiento de las partículas

Modos normales de vibración

Actividades

Referencias

 

En la página titulada “Dos osciladores acoplados” estudiamos las oscilaciones de dos partículas idénticas unidas a dos muelles de constante k y acopladas por un muelle de constante kc.

En esta página, vamos a estudiar un sistema formado por tres partículas de la misma masa m unidas por muelles elásticos iguales de constante k, tal como se muestra en la figura.

 

Ecuaciones del movimiento de las partículas

Supongamos que la primera partícula se desplaza x1 de la posición de equilibrio, que la segunda se desplaza x2 y la tercera, se desplaza x3.

En las figuras, se muestra las fuerzas sobre cada una de las partículas 

Ecuación del movimiento de la primera partícula

Ecuación del movimiento de la segunda partícula

Ecuación del movimiento de la tercera partícula

Buscamos una solución de la forma

xi=Aicos(ωt), i=1, 2, 3

que representa un MAS de amplitud Ai y frecuencia angular ω. Al ser la fase inicial π/2, la partícula parte del reposo en el instante t=0, de la posición x0i

Teniendo en cuenta que la derivada segunda de xi respecto del tiempo t es

Obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones homogéneo

El determinante

Las tres raíces de la ecuación cúbica en ω2 son

Para cada una de las frecuencias calculamos los coeficientes A1, A2 y A3, que son las amplitudes de los modos normales de vibración.

  • Para la primera frecuencia ω1.

La tercera ecuación

nos permite verificar que los valores hallados de A2 y A3 son correctos

Una vez que conocemos el procedimiento para calcular las amplitudes Ai del primer modo normal de vibración calculamos los coeficientes para el segundo modo ω2, que denominaremos Bi, y para el tercer modo ω3, que denominaremos Ci. Los resultados son:

  • Segundo modo de vibración ω2

B2=0, B3=-B1

  • Tercer modo de vibración ω3

El movimiento de cada partícula es una superposición de los tres modos de vibración

x1=A1cos(ω1·t)+B1cos(ω2·t)+C1·cos(ω3·t)
x2
=A2cos(ω1·t)+B2cos(ω2·t)+C2·cos(ω3·t)
x3
=A3cos(ω1·t)+B3cos(ω2·t)+C3·cos(ω3·t)

o bien,

Los valores de A1, B1 y C1 se determinan a partir de las condiciones iniciales. En el instante t=0, las partículas parten del reposo desde las posiciones x01, x02, y x03 respectivamente

Resolviendo el sistema de ecuaciones

 

Modos normales de vibración

  • El primer modo normal de vibración ω1 se establece cuando A1≠0, B1=0 y C1=0

Las ecuaciones del movimiento de cada una de las partículas en este modo de vibración son

  • El segundo modo normal de vibración ω2 se establece cuando A1=0, B1≠0 y C1=0

Las ecuaciones del movimiento de cada una de las partículas en este modo de vibración son

  • El tercer modo normal de vibración ω3 se establece cuando A1=0, B1=0 y C1≠0

Las ecuaciones del movimiento de cada una de las partículas en este modo de vibración son

 

Actividades

  • La masa de las partículas se ha fijado en m=1 kg

  • La constante de los muelles se ha fijado en k=1 N/m

Se introduce

  • La posición inicial x01 de la primera partícula, actuando en la barra de desplazamiento titulada Posición X01.

  • La posición inicial x02 de la segunda partícula, actuando en la barra de desplazamiento titulada Posición X02.

  • La posición inicial x03 de la tercera partícula, actuando en la barra de desplazamiento titulada Posición X03.

Se pulsa el botón titulado Empieza

Si activamos la casilla titulada Gráfica y luego, pulsamos el botón titulado Empieza, se representa las posiciones x1, x2, y x3 de cada una de las partículas en función del tiempo t.

 

 

Referencias

Lévesque L. Revisiting the coupled-mass system and analogy with a simple band gap structure. Eur. J. Phys. 27 (2006) pp. 133-145