Física Estadística y Termodinámica |
Termodinámica Conceptos básicos de Termodinámica Trasformaciones termodinámicas Indice adiabático de un gas (I) Indice adiabático de un gas (II) Indice adiabático del aire El soplo de la bomba atómica Cohete propulsado por un gas a presión Oscilaciones de un émbolo Procesos cuasiestáticos El ciclo de Carnot Segundo principio Proceso reversible (I) Proceso reversible (II)
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 Oscilaciones del émbolo
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En esta página, se estudia la evolución hacia el estado de equilibrio de un sistema aislado formado por dos gases ideales separados por una pared adiabática.
Un cilindro de sección S y longitud L está cerrado por ambos extremos, contiene un émbolo que divide el volumen en dos partes A y B, ambos contienen la misma cantidad de un gas ideal, un mol. El cilindro y el émbolo están adiabáticamente aislados. El émbolo está sujeto de modo que los volúmenes iniciales de cada parte son, respectivamente V10=S·x0, V20=S(L-x0). Las temperaturas iniciales del gas en cada una de las dos partes son T10 y T20. En el instante t=0, se libera el pistón y suponemos que el émbolo se mueve sin rozamiento. Vamos a determinar el estado final de equilibrio.
El sistema alcanzará el equilibrio cuando las presiones de los gases separados por el émbolo sea la misma p1f=p2f=pf 1.-Aplicamos la ecuación de los gases ideales a cada una de las partes pf·V1f=nRT1f 2.-Como el sistema es aislado, la energía total permanece constante U1f+U2f=U10+U20 La energía interna de un gas ideal solamente depende de la temperatura T1f+T2f=T10+T20 3.-Los volúmenes de los gases cambian, pero el volumen total es constante e igual al inicial que ocupaban los gases. V10+V20=V1f+V2f Despejamos la temperaturas finales y la presión final
Ahora bien, de estas ecuaciones no podemos despejar los volúmenes finales ni las temperaturas finales. Como veremos más adelante, la formulación de un modelo de gas ideal nos va a permitir describir la evolución desde el estado inicial al final de equilibrio.
Oscilaciones del émboloSupongamos que el émbolo se mueve sin rozamiento. El principio de conservación de la energía para el sistema aislado formado por los dos gases y el émbolo se escribe para un mol de gas.
El primer término es la energía cinética del émbolo de masa M. El segundo, la energía interna de un mol de gas contenido en la parte izquierda y el tercero, la energía interna de un mol de gas contenido en la parte derecha. Los dos gases experimentan una transformación adiabática
Recuérdese que cp=cv+R y γ=cp/cv El principio de conservación de la energía se escribe.
El segundo término es la energía potencial Ep(x). que se representa en la figura. Para una energía total E, el émbolo oscila entre las dos posiciones x0 y x1 señaladas en la figura, con un determinado periodo
El émbolo parte de la posición x0, en el instante t=0, y llega a la posición de máximo desplazamiento x1 cuando su velocidad es dx/dt=0. Para calcular esta posición, es preciso resolver por procedimientos numéricos la ecuación trascendente
Ecuación del movimiento Derivamos la ecuación de la conservación de la energía respecto con respecto del tiempo
La ecuación del movimiento se escribe
Se resuelve esta ecuación diferencial de segundo orden por procedimiento numéricos con las siguientes condiciones iniciales: en el instante t=0, x=x0, y dx/dt=0.
ActividadesSe pulsa el botón titulado Inicio Se introduce
Se pulsa el botón titulado Empieza Se observa el movimiento oscilatorio del émbolo Los termómetros marcan la temperatura de los dos gases en K: cuando el gas se comprime adiabáticamente se eleva su temperatura, cuando se expande su temperatura disminuye. En la parte superior del applet, se representa la energía potencial Ep(x) del émbolo y la energía total mediante una recta horizontal, señalándose los dos puntos de intersección x0 y x1 que son los puntos de retorno en los que la velocidad del émbolo se anula. El mínimo de la curva Ep(x) señala la posición de equilibrio, la fuerza sobre el émbolo es nula, la velocidad del émbolo es máxima. El contador de tiempo en la parte superior del applet, nos permite medir el periodo de las oscilaciones. |
Mover con el puntero del ratón el émbolo
Modelo cinético de gas idealUna vez que se suelta el émbolo situado en la posición x0, describe varias oscilaciones hasta que alcanza una posición de equilibrio final en el que las presiones a ambos lados del émbolo se igualan. Para determinar los volúmenes finales o las temperaturas finales necesitamos formular un modelo de gas ideal que nos describa la evolución desde el estado inicial al estado final de equilibrio. El número de moléculas cuya velocidad está comprendida entre v y v+dv, es decir, entre vx y vx+dvx, vy y vy+dvy, vz y vz+dvz, de acuerdo a la ley de Boltzmann es
donde dv es un elemento de volumen en el espacio de las velocidades.
El volumen comprendido es paralepípedo elemental de color gris de la figura tiene por lados dv Su volumen es dv=v2·senθ·dv·dθ·dφ Número de moléculas del gas que chocan con el émbolo
El número de moléculas con velocidad v que chocan contra una porción de émbolo de área S en el tiempo dt, que se mueven en una dirección que hace un ángulo θ con la normal a la pared, son las contenidas en el volumen cilíndrico de base S y altura v·cosθ·dt. Se multiplica el número de moléculas por unidad de volumen (dn/V) por el volumen del cilindro de la figura de la derecha. (dn/V)·S·v·cosθ·dt. Ahora bien, el émbolo no está en reposo, sino que se mueve con velocidad u a lo largo de la dirección normal a S. La componente de la velocidad de las moléculas con relación al émbolo es v·cosθ-u. Donde u es positiva cuando el gas incrementa su volumen y negativa cuando lo disminuye. Se supone que u es pequeña comparada con las velocidades moleculares v. El número de moléculas del gas que chocan con el émbolo en el intervalo de tiempo comprendido entre t y t+dt es
donde dV=S·u·dt es el incremento del volumen del gas Choque elástico de una molécula con el émboloUna partícula de masa m y velocidad vx choca elásticamente con un émbolo de masa M que se mueve con velocidad u.
Aplicamos la conservación del momento lineal y la igualdad de la energía cinética antes y después del choque
Escribimos las dos ecuaciones en la forma equivalente
Despejando las incógnitas
Como la masa M del émbolo es muy grande comparado con masa m de la partícula
Una deducción alternativa es la siguiente: La partícula choca con el émbolo y cambia el sentido de su velocidad en el Sistema de Referencia del émbolo, la velocidad de la partícula
En el Sistema de Referencia del Laboratorio, las velocidades de la partícula
Variación de la energía interna del gas idealEl cambio de energía cinética de la partícula es
Las moléculas cuando chocan con el émbolo ganan o pierden energía cinética. Si ganan energía cinética, la energía interna del gas aumenta y también lo hace la temperatura y si pierden, la energía interna del gas disminuye. Vamos a calcular el cambio de energía interna debido a todos los choques de las moléculas del gas con el émbolo móvil en el intervalo de tiempo comprendido entre t y t+dt o bien, cuando el volumen del gas cambia de V a V+dV.
Para calcular la integral triple, establecemos los límites de integración para la variable v, φ y θ. Los límites de la primera integral respecto de φ, son 0 y 2π, se integra para todos los ángulos, pero solamente se integra para ángulos θ comprendidos entre 0 y π/2, ya que cuando θ>π/2, v·cosθ se hace negativa y la partícula se aleja de la pared. Por último, se integra para todas las velocidades, desde 0 a ∞.
Empleando los resultados de las integrales
Llegamos a la siguiente expresión
Definimos nuevas variables:
Aproximación al equilibrio
Ahora volvemos al estudio del sistema formado por los dos gases separados por un émbolo móvil
Variación de la temperaturaLa ecuación para la variación de la temperatura T1 del gas situado en la parte izquierda es
La ecuación para la variación de la temperatura T2 del gas situado en la parte derecha es
Aproximación: Si despreciamos los términos en (dx/dt)2 y (dx/dt)3 llegamos a la ecuación
que integrada nos da T1·xγ-1=cte De modo similar, obtenemos T2(L-x)γ-1=cte Recuérdese que cp=cv+R y γ=cp/cv Ecuación del movimiento del émboloComo el sistema es aislado, la energía total permanece constante
El primer término es la energía cinética del émbolo de masa M. El segundo, la energía interna de un mol de gas contenido en la parte izquierda y el tercero, la energía interna de un mol de gas contenido en la parte derecha. Derivamos con respecto del tiempo
Despejamos la aceleración d2x/dt2
Aproximación Si despreciamos los términos en (dx/dt)2 y (dx/dt)3 el émbolo describe un movimiento periódico.
que estudiamos en el primer apartado, oscilaciones del émbolo En el caso general, se resuelve el sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden y una ecuación de segundo orden con las condiciones iniciales siguientes: en el instante t=0,
En el estado final de equilibrio dx/dt=0, y d2x/dt2=0
que corresponde a la igualdad de presiones p1f=p2f=pf a un lado y otro del émbolo, tal como hemos visto en la introducción EscalasAntes de resolver numéricamente el sistema de tres ecuaciones diferenciales, es conveniente escribirlas en términos de las siguientes variables adimensionales
Las ecuaciones diferenciales se convierten en
Se resuelve el sistema de ecuaciones diferencias por procedimientos numéricos, con las siguientes condiciones iniciales, en el instante τ=0, ξ=ξ0, (dξ/dτ)0=0, θ1=θ10, θ2=1-θ10 Se comprueba que se cumple la conservación de la energía expresada en términos de las variables adimensionales de la forma
En el estado final, (dξ/dτ)=0 y (d2ξ/dτ2)=0 la relación entre las variables adimensionales serán:
Concluyendo: el modelo cinético de gas ideal nos predice los valores finales de equilibrio de las temperaturas T1f, T2f y de los volúmenes V1f=S·xf, V2f=S·(L-xf), mientras que la Termodinámica solamente nos dice que las presiones de los gases se deberán de igualar.
ActividadesSe pulsa el botón titulado Inicio Se introduce
Se pulsa el botón titulado Empieza Observamos las oscilaciones del émbolo, hasta que al cabo de cierto tiempo alcanza la posición de equilibrio. Cuanto mayor sea el valor del parámetro δ, antes se alcanzará dicha posición. Los termómetros marcan en cada instante las temperaturas adimensionales θ1 y θ2 En la parte superior del applet, se representa la posición ξ del émbolo en función del tiempo adimensional τ. En la parte superior derecha del applet, se representa un diagrama en forma de tarta:
Probar los siguientes ejemplos: θ10=0.9,
ξ0=0.1, δ=0.1 |
Mover con el puntero del ratón el émbolo
Crosignani B., Di Porto P., Approach to thermal equilibrium in a system with adiabatic constraints. Am. J. Phys. 64 (5) May 1996, pp. 610-613
Bauman R. O., Cockerham III H. L. Pressure of an ideal gas on a moving piston. Am. J. Phys. 37 (7) July 1969, pp. 675-679
Aproximación al
equilibrio
