Una caja que puede volcar

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Sólido rígido

Conservación del
momento angular
Discos que se
acoplan (I)
Discos que se
acoplan (II)
Conservación del 
momento angular
Giros del patinador de
hielo
Analogía con choque
frontal elástico
Péndulo balístico (II)
marca.gif (847 bytes)Caja que puede
  volcar
Choque inelástico
bala-disco en rotación
Transferencia de la 
velocidad en un choque
Conservación 
m. lineal y m. angular
Choque disco-pared
Choque disco-disco (I)
Choque disco-disco (II)
Fundamentos físicos

Movimiento después del choque

java.gif (886 bytes)Actividades

Fuerzas sobre la caja en el eje de rotación

 

Un bloque de masa m, de dimensiones a y h desliza sin rozamiento con velocidad constante v a lo largo de una pista horizontal. En un momento dado el bloque choca contra un obstáculo puntual O situado en la pista. El bloque describe un movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por O.

 

Fundamentos físicos

De nuevo tenemos un ejemplo de aplicación del principio de conservación del momento angular. El sistema formado por el bloque y el obstáculo puntual O no es aislado. Sin embargo, la fuerza exterior que actúa en O tiene un momento nulo, por lo que el momento angular respecto de O es constante.

Momento angular antes del choque

caja1.gif (2048 bytes)

Es el momento angular del bloque respecto de O es equivalente al momento angular de una partícula de masa m situada en el centro de masas del bloque y que se mueve con velocidad v.

L=r´ mv. El módulo del momento angular es L=mv·h/2

Momento angular después del choque

caja2.gif (2054 bytes)

De las tablas de momentos de inercia de sólidos tomamos la fórmula del momento de inercia de un bloque rectangular de masa m y de dimensiones a y h respecto de un eje perpendicular al plano del rectángulo y que pasa por su centro. La dimensión del bloque perpendicular al plano del rectángulo considerado no interviene en el problema

Para calcular el momento de inercia respecto de un eje paralelo al anterior y que pase por el vértice O aplicamos el teorema de Steiner IO=Ic+md2

El momento angular de este rectángulo rígido que gira alrededor de un eje perpendicular al plano del rectángulo y que pasa por O es

L=I0·w

Principio de conservación del momento angular

Aplicando el principio de conservación del momento angular, despejamos la velocidad angular w del bloque rectangular, justamente después del choque.

Balance energético

Energía perdida en la colisión

  • La energía antes del choque, es la energía cinética de traslación del bloque
  • La energía después del choque, es la energía cinética de rotación del bloque alrededor del eje que pasa por O,

La energía perdida en la colisión es la diferencia entre estas dos energías. En la parte superior del applet, podemos observar que la mayor parte de la energía cinética inicial del bloque se pierde en la colisión con el obstáculo puntual O y solamente, una pequeña parte de la energía inicial se convierte en energía cinética de rotación del bloque después del choque

 

Movimiento después del choque

Ecuación de la dinámica de rotación

Después del choque tenemos un sólido rígido en rotación alrededor de un eje fijo que pasa por O. La ecuación de la dinámica de rotación es M=I0·a

M es el momento del peso que actúa en el centro de masa del bloque, (véase una figura un poco más abajo)

mgd·cos(q +f )

donde f es el ángulo que forma la diagonal con la base del rectángulo tanf =h/a, y q  es el ángulo que se levanta la base del rectángulo.

La ecuación de la dinámica de rotación se escribe

-mgd·cos(q +f )=I0·a

como la aceleración angular no es constante podemos obtener la posición angular q  en función del tiempo, integrando la ecuación diferencial de segundo orden.

Principio de conservación de la energía

Sin embargo, es mucho más fácil aplicar el principio de conservación de la energía para obtener información sobre el comportamiento del sólido en rotación.

En la figura de la derecha, el punto rojo inferior representa la posición del c.m. en el instante inicial q =0, y el punto rojo superior representa la posición del c.m. cuando la base de la caja ha girado un ángulo q. La diferencia de alturas entre la posición inicial y final del c.m. es h.

caja3.gif (2709 bytes)

Podemos calcular el ángulo máximo q  que se levanta la base inferior por encima del suelo.

La energía cinética después del choque se convierte en energía potencial

Puede ocurrir que la velocidad del bloque sea tan grande que el ángulo q , sobrepase el valor máximo que hace que el centro de masas pase por encima de O. Entonces el bloque cae hacia el otro lado.

caja4.gif (1991 bytes) Como vemos este ángulo máximo es tal que q +f =p /2 ó 90º

Para que esto ocurra, la energía cinética de la caja después del choque tiene que ser mayor que la energía potencial del bloque correspondiente a una altura de su c. m. igual a d.

Ejemplos:

Ejemplo 1º:

  • Masa del bloque, m=0.2 kg
  • Velocidad del bloque, v=2.2 m/s
  • Altura del bloque, h=50 cm
  • Anchura del bloque, a=50 cm
  1. Choque. Principio de conservación del momento angular

Distancia d del c. m. al vértice del rectángulo
Momento de inercia I0= 0.033 kgm2

Momento angular inicial L=0.2·2.2·0.25=0.11 kg·m2/s
Momento angular final L=I0·w

Conservación del momento angular: w =3.3 rad/s

  1. Movimiento después del choque. Principio de conservación de la energía

La energía cinética después del choque se transforma en energía potencial, cuando se alcanza el ángulo máximo girado por la base del bloque.

A partir de la altura h a la que se eleva el centro de masas, podemos obtener el ángulo que ha girado el bloque alrededor del eje que pasa por el vértice O.

h=d·sen(q +f )-d·senf , con f =45º por ser cuadrada la forma del bloque. Despejamos ángulo q =30.7º

Ejemplo 2º

Resolviendo el problema en sentido inverso podemos calcular la velocidad del bloque para que realice un giro completo.

  1. Movimiento después del choque. Principio de conservación de la energía

con f =45º por ser cuadrada la forma del bloque

Obtenemos la velocidad angular después del choque, w =3.49 rad/s

  1. Choque. Principio de conservación del momento angular

m·v·h/2=I0·w

Obtenemos la velocidad del bloque v=2.326 m/s.

Introducimos este valor en el control de edición titulado Velocidad inicial y pulsamos el botón titulado Empieza, observamos que el c.m. de la caja alcanza la posición vertical sin sobrepasarla. Si incrementamos un poquito más la velocidad v se completa el giro.

 

Actividades

Se introduce

  • Masa m del bloque (kg), en el control de edición titulado Masa del bloque
  • Velocidad v del c.m. del bloque (m/s), en el control de edición titulado Velocidad inicial
  • Altura h (cm), en el control de edición titulado Alto
  • Longitud de la base a (cm), en el control de edición titulado Ancho

Se pulsa el botón Empieza

Se observa el movimiento del bloque deslizando por la pista horizontal y su posterior choque con el obstáculo puntual O, y el balance energético de la colisión..

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.
               
 

Fuerzas sobre la caja en el eje de rotación

Hemos calculado la aceleración angular y la velocidad angular del sistema después del choque cuando la caja forma un ángulo q  con la vertical tal como se ve en la figura (más abajo).

  • Ecuación de la dinámica de rotación

I0a =-mg·d·cos(q +f )

  • Balance energético

Siendo w0 la velocidad angular de la caja inmediatamente después del choque con el obstáculo O

El centro de masas describe un arco de circunferencia de radio d, por tanto, tiene dos aceleraciones, una tangencial at y otra normal an.

caja5.gif (4016 bytes)

En la figura de la izquierda, tenemos dibujadas las fuerzas sobre la caja, en la figura central las aceleraciones. A partir de estos esquemas, planteamos las ecuaciones del movimiento del centro de masas.

m·ax=-Fx
m·ay=Fy-mg

Hallamos las componentes ax y ay de la aceleración (tercera figura)

ax=at·sen(q +f ) +an·cos(q +f )
ay=at·
cos(q +f ) -an·sen(q +f )

Teniendo en cuenta que en un movimiento circular

at=a ·d
an=w 2·d

Despejamos Fx y Fy

Fx=-m· d·(a ·sen(q +f ) +w2·cos(q +f ))
Fy =m·d·
(a ·cos(q +f ) -w2·sen(q +f ))+mg

Ejemplo

Volvemos sobre el ejemplo 1º

  • Masa del bloque, m=0.2 kg
  • Velocidad del bloque, v=2.2 m/s
  • Altura del bloque, h=50 cm
  • Anchura del bloque, a=50 cm

Por ser una caja cuadrada f =45º,

Momento de inercia I0= 0.033 kgm2

  1. Choque. Aplicamos el principio de conservación del momento angular para obtener la velocidad angular de la caja inmediatamente después del choque.

w0=3.3 rad/s

El enunciado del problema es ahora: calcular los valores de las fuerzas Fx y Fy cuando el ángulo girado por el bloque sea q =15º.

  1. Calculamos la aceleración angular a , y la velocidad angular w .

  1. Balance energético

  1. Finalmente, calculamos las componentes de la fuerza sobre la caja en el eje O.