Sólido rígido |
Conservación del momento angular Discos que se acoplan (I) Discos que se acoplan (II) Conservación del momento angular Giros del patinador de hielo Analogía con choque frontal elástico Péndulo balístico (II) Caja que puede volcar Choque inelástico bala-disco en rotación Transferencia de la velocidad en un choque Conservación m. lineal y m. angular Choque disco-pared Choque disco-disco (I)
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Balance energético. Coeficiente de restitución Cuando los discos están en contacto |
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| En esta página, estudiamos de nuevo el choque de dos discos. En vez de resolver un sistema de seis ecuaciones con seis incógnitas, vamos a deducir las expresiones de
En términos de la velocidad u1 del disco incidente y del ángulo θ1 que forma la dirección de la velocidad u1 del primer disco y la recta que pasa por los centros de ambos discos cuando entran en contacto en el momento del choque.
En la figura, se muestra un esquema de la colisión de dos discos de masas m1 y m2, y radios r1 y r2 respectivamente. El segundo disco está en reposo u2=0, mientras que el primero lleva una velocidad u1 antes del choque. El choque está caracterizado por el denominado parámetro de impacto b, que es la distancia entre la dirección de la velocidad u1 del primer disco y el centro del segundo disco en reposo. Alternativamente, podemos caracterizarla por el ángulo θ1 que forma la dirección de la velocidad u1 del primer disco y la recta (eje X) que pasa por los centros de ambos discos cuando entran en contacto en el momento del choque. Después del choque, el primer disco se mueve con velocidad v1 haciendo un ángulo f1 con la parte positiva del eje X y a su vez, gira alrededor de un eje perpendicular al disco y que pasa por su centro con velocidad angular w1. El segundo disco se mueve con velocidad v2 haciendo un ángulo f2 con el eje X y a su vez, gira alrededor de de un eje perpendicular al disco y que pasa por su centro con velocidad angular w2. Datos del problema
Incógnitas
Parámetro de impacto Se denomina parámetro de impacto b, a la distancia entre la dirección de la velocidad u1 del primer disco y el centro del segundo disco en reposo. La relación entre le parámetro de impacto b y el ángulo θ1 que forma la dirección de la velocidad u1 del primer disco y la recta (eje X) que pasa por los centros de ambos discos, cuando entran en contacto en el momento del choque, se puede apreciar en la figura.
Principios de conservación
Balance energético. Coeficiente de restitución
De la definición de coeficiente de restitución ·u1cosq1= -v1cosf1+v2cosf2 (5) Tenemos 6 incógnitas y tan solo 5 ecuaciones, precisamos una ecuación más para resolver el problema. Estudiamos ahora las fuerzas entre los discos cuando entran en contacto
Cuando los discos están en contactoSupondremos que:
Se pueden presentar dos casos: No hay deslizamiento
Consideremos el caso de que no hay deslizamiento de un disco respecto del otro en el punto de contacto P. Las velocidades de los dos discos en el punto de contacto P serán iguales. v1senf1-r1 w 1=v2senf2+r2 w2 (6) Hay deslizamiento
Las fuerzas sobre el disco azul en le punto de contacto son:
La fuerza N actuando durante el pequeño intervalo de tiempo Dt en el que los discos están en contacto modifica la componente del momento lineal del disco a lo largo de la dirección de dicha fuerza..
De modo análogo, el impulso de la fuerza F modifica el momento lineal del disco. La fuerza de rozamiento F es de sentido contrario a la velocidad del disco en el punto de contacto P.
De la relación ente ambas fuerzas F=m ·N, obtenemos m ·(v1cosf1- u1cosq1)= (v1senf1-u1senq1) (6')
Las fuerzas sobre el disco rojo en el punto de contacto son:
Las fuerzas en el punto de contacto P son iguales y de sentido contrario La fuerza N actuando durante el pequeño intervalo de tiempo Dt en el que los discos están en contacto modifica la componente del momento lineal del disco en la dirección de dicha fuerza.
De modo análogo, el impulso de la fuerza F modifica el momento lineal del disco. La fuerza de rozamiento F es de sentido contrario a la velocidad del disco en el punto de contacto P.
De la relación ente ambas fuerzas F=m ·N, obtenemos m ·v2cos f2= v2senf2 tanf2 =m (7')
Resolución de las ecuacionesDe los dos casos estudiados hay cinco ecuaciones comunes m1u1·senq1=m1v1·senf1+m2v2·senf2 (1) r1w1 =2·u1senq1-2·v1senf1
(3) e·u1cosq1= -v1cosf1+v2cosf2 (5) Las ecuaciones específicas Hay deslizamiento
La ecuación (7') se puede escribir de forma alternativa senf2 =m ·cosf2 (7')
Comprobación No hemos empleado la ecuación (6'), pero comprobaremos que se cumple m ·(v1cosf1- u1cosq1)= v1senf1-u1senq1 (6') Introducimos las expresiones de v1cosf1 y de v1senf1 previamente deducidas y comprobaremos que se cumple la igualdad. Balance energético Se denomina Q de la colisión a la diferencia entre las energías cinéticas de los discos después del choque, y la energía cinética antes del choque La energía cinética de los discos después del choque, es la suma de dos términos: la energía cinética de traslación del c.m. del disco y la energía cinética de rotación del disco alrededor de un eje que pasa por el c.m.
Sustituimos las velocidades después del choque v1, v2, w1 y w2 en función de la velocidad del primer disco antes del choque u1 y del ángulo θ1.
Utilizando las relaciones sen2θ1=2senθ1·cosθ1 y 1+tan2θ1=1/cos2θ1 y después de varias operaciones algebraicas se llega al siguiente resultado
No hay deslizamiento
Balance energético Se denomina Q de la colisión a la diferencia entre las energías cinéticas de los discos después del choque, y la energía cinética antes del choque La energía cinética de los discos después del choque, es la suma de dos términos: la energía cinética de traslación del c.m. del disco y la energía cinética de rotación del disco alrededor de un eje que pasa por el c.m.
Sustituimos las velocidades después del choque v1, v2, w1 y w2 en función de la velocidad del primer disco antes del choque u1 y de su dirección θ1.
Haciendo algunas operaciones llegamos al resultado
Caso particular: choques frontales Cuando el parámetro de impacto b=0, o θ1=0, el choque se denomina frontal
Ángulo críticoComparemos los valores de los ángulos de los discos después del choque f1 y f2 en los dos casos estudiados
Medida de los ángulos en el laboratorioEn el laboratorio se mide el parámetro de impacto b, que está relacionado con el ángulo θ1, que forma la dirección del la velocidad u1 del disco incidente con la línea que une los centros de los dos discos. b=(r1+r2)·senθ1 y los ángulos φ1 y φ2 que forman las velocidades v1 y v2 de los discos después del choque con la dirección de la velocidad del primer disco u1. Estos ángulos, como puede fácilmente deducirse de la figura son
φ1=f1
-θ1 EjemplosEjemplo 1: Datos relativos a los discos
Antes del choque
Después del choque
Ejemplo 2º. Datos relativos a los discos
Antes del choque
Después del choque
ActividadesEn la tabla tenemos los datos correspondientes al coeficiente de rozamiento m y al coeficiente de restitución e.
Fuente: Doménech A, Doménech M.T. Colisiones inelásticas de esferas. Revista Española de Física 4, 3 (1990) págs.52-56. Se introduce
Se pulsa el botón titulado Empieza. Observamos el movimiento de los discos antes y después del choque en el Sistema de Referencia del Laboratorio El programa interactivo calcula:
Con los datos introducidos y calculados por el programa, verificaremos los principios de conservación del momento lineal y angular tal como se ha efectuado en los ejemplos.
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Doménech A, Doménech M.T. Analysis of two-disc collisions. Eur. J. Phys. 14 (1993) pp. 177-183.
Choque disco-disco (II)
