Dinámica |
Trabajo y energía Trabajo y energía El péndulo simple El muelle elástico (I) El muelle elástico (II) El muelle elástico (III) Partícula unida a una goma
El péndulo cónico Equilibrio y estabilidad (I) Equilibrio y estabilidad (II) Equilibrio y estabilidad (III) Equilibrio y estabilidad (IV) Movimiento sobre una cicloide (I) Movimiento sobre cúpula semiesférica Movimiento sobre sup. semicircular Carrera de dos esquiadores Movimiento sobre una cicloide (II) Movimiento sobre una parábola |
Fundamentos físicos
Movimiento de la partícula en contacto con el muelle |
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| Se propone un problema que permite al lector practicar con todos los aspectos relacionados con la dinámica de una partícula. Se lanza una partícula mediante un dispositivo que consiste esencialmente en un muelle comprimido. Primero, la partícula desliza a lo largo de un plano horizontal. Luego, entra en un bucle y a continuación, si consigue describir el rizo, pasa a un plano inclinado.
Se supone que existe rozamiento entre la partícula y los planos horizontal e inclinado, pero no existe rozamiento en el bucle, por razón de simplicidad de cálculo.
Fundamentos físicosEn esta sección analizaremos cada una de las etapas en las que se puede dividir el bucle
Si comprimimos el muelle una distancia x y luego, lo soltamos en la posición A, podemos calcular la velocidad de la partícula en la entrada B del bucle, aplicando las ecuaciones del balance de energía. En la posición A, la partícula solamente tiene energía potencial elástica
Siendo k la constante elástica del muelle, que se transforma en energía cinética en la posición B
En el trayecto AB se pierde energía debido al rozamiento WAB=-Fr(x+0.7)=-mkmg(x+0.7) Donde x+0.7 es la distancia entre los puntos A y B. De la ecuación del balance energético WAB=EB-EA obtenemos vB
En la sección "Movimiento de la partícula en contacto con el muelle" se proporciona un análisis más detallado del movimiento de la partícula.
El análisis del comportamiento de la partícula en el bucle es algo más complejo y pueden ocurrir alguna de las siguientes situaciones:
Ahora bien, si la velocidad de la partícula en la posición C es inferior a un valor mínimo, no describirá el bucle. De las ecuaciones de la dinámica del movimiento circular tenemos que
Siendo NC la fuerza normal en C, o fuerza que ejerce el raíl sobre la partícula en dicha posición. La velocidad mínima se obtiene cuando NC=0.
Podemos ahora pensar qué ocurre si no se alcanza la velocidad mínima vCmín
La partícula deja de tener contacto con el bucle en el instante en el que la fuerza normal es cero, N=0. Por lo que
En dicho instante, la partícula se mueve bajo la única fuerza de su propio peso describiendo un movimiento curvilíneo bajo la aceleración constante de la gravedad o un tiro parabólico. Situamos los ejes en el centro del bucle. La posición de lanzamiento, tal como se ve en la figura anterior, es x0=R·sen(180-q )
En la sección titulada "Trayectoria circular y parabólica" analizaremos con detalle esta interesante combinación de movimientos. En las situaciones 1 y 2, la partícula regresa a la posición B con la misma velocidad con la que entró en el bucle, ya que como se ha mencionado el bucle no tiene rozamiento.
Ejemplos
Examinamos las distintas situaciones que se producen cuando se comprime el muelle x. Ejemplo 1 Se comprime el muelle x=0.24 cuando se actúa con el puntero del ratón sobre el pequeño cuadrado de color rojo, que representa una partícula de masa m=1 kg. La velocidad con la que llega al punto B, inicio de la pista circular es
La partícula pasa por el punto mas alto C de la pista circular con una velocidad de
Regresa al punto B, parte inferior de la pista circular con la misma velocidad vB=5.01 m/s o una velocidad angular de ω=10.02 rad/s. Llega al punto D comienzo de la pista inclinada 30º con una velocidad
Calculamos el máximo desplazamiento D de la partícula a lo largo del plano inclinado
Ejemplo 2 Se comprime ahora el muelle x=0.2 m La velocidad con la que llega al punto B, inicio de la pista circular es
La partícula desliza por la pista circular hasta que la velocidad sea cero o la reacción N se hace cero. En este caso, se analiza la segunda situación
Su velocidad v en esta posición es
La partícula describe una parábola hasta que choca con la parte inferior de la pista circular. Ejemplo 3 Se comprime ahora el muelle x=0.1 m La velocidad con la que llega al punto B, inicio de la pista circular es
La partícula desliza por la pista circular hasta que la velocidad sea cero
Retrocede pasando por B, parte inferior de la pista circular con la misma velocidad ya que no hay rozamiento, desliza por la pista horizontal, y puede llegar a A o puede pararse antes.
La partícula no llega a la posición A, se para a la distancia
Se para a una distancia de 47 cm medido desde B o de 70-47=23 cm medido desde el origen A.
ActividadesCuando la partícula está en el origen, situamos el puntero del ratón sobre la partícula de color rojo, con el botón izquierdo del ratón pulsado, se arrastra la partícula y se comprime el muelle la distancia x deseada. A continuación, se suelta el botón izquierdo del ratón. La partícula empieza a moverse hacia el bucle. Para volver a repetir la experiencia, se sitúa la partícula en el origen pulsando el botón titulado Inicio. El botón titulado Pausa sirve para parar momentáneamente el movimiento, que se reanuda cuando se vuelve a pulsar el mismo botón titulado ahora Continua. Pulsando en el botón titulado Paso se observa la posición de la partícula en cada intervalo de tiempo, paso a paso. Se pueden cambiar los parámetros siguientes:
El programa es flexible y nos permite practicar la mayor parte de las situaciones que se describen en la dinámica:
A la izquierda del applet podemos observar de forma cualitativa el balance energético. El círculo mayor es la energía total, y los colores indican las proporciones de cada clase de energía.
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Arrastrar hacia la izquierda con el puntero del ratón el pequeño cuadrado de color rojo
Movimiento de la partícula en contacto con el muelle
Si la máxima compresión del muelle es x0, la partícula se moverá si kx0> μmg, en caso contrario, permanecerá en equilibrio en dicha posición. La ecuación del movimiento es
La solución de esta ecuación diferencial es x=Asen(ωt)+Bcos(ωt)+μg/ω2 Las constantes A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales: en el instante t=0, x=x0 y dx/dt=0
Pueden ocurrir dos casos: 1.-Que la partícula se detenga antes de alcanzar el origen 2.-Que la partícula alcance el origen x=0, con velocidad final v La partícula se detiene en el instante t=π/ω, su posición es
Para que sobrepase el origen se tiene que cumplir que x0>2μg/ω2 Llegamos a la misma conclusión desde el punto de vista energético. Solamente si la energía almacenada en el muelle es superior al trabajo de la fuerza de rozamiento, la partícula sobrepasa el origen
La velocidad con la que llega al origen x=0 es
El mismo resultado que se obtiene aplicando el balance energético: El trabajo de la fuerza de rozamiento es igual a diferencia entre la energía final y la energía inicial
La ecuación del movimiento es
La solución de esta ecuación diferencial es x=Asen(ωt)+Bcos(ωt)-μg/ω2 Las constantes A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales: en el instante t=0, x=0 y dx/dt=v0
La partícula se detiene v=0 en el instante t
Teniendo en cuenta las relaciones trigonométricas
Llegamos a la siguiente expresión para la posición final de la partícula
El mismo resultado que se obtiene aplicando el balance energético: El trabajo de la fuerza de rozamiento es igual a diferencia entre la energía final y la energía inicial
Trayectoria circular y parabólica
Para analizar este movimiento complejo, situamos el origen en el centro del bucle y medimos los ángulos desde el eje X. El nivel cero de energía potencial lo situamos en el eje X. En la posición angular θ1 la partícula deja de tener contacto con el bucle, la reacción N es nula La ecuación de la dinámica del movimiento circular y el principio de conservación de la energía se escriben
Combinando ambas ecuaciones determinamos el valor del ángulo θ1
Una vez que llega P1 describe un movimiento parabólico, la velocidad y la posición de la partícula es
Choca con el bucle en el punto P2 que es el punto de intersección entre la parábola y la circunferencia de radio R. Recordando que la ecuación de una circunferencia, cuando su centro está en el origen de coordenadas es x2+y2=R2
Teniendo en cuenta que de la dinámica del movimiento circular
Llegamos a la siguiente expresión simplificada
El tiempo de vuelo de la partícula hasta que choca con el bucle es
La posición del punto de impacto P2 y la velocidad de la partícula son, respectivamente
Después del choque, supondremos que se anula la componente normal de la velocidad, y la partícula desliza sobre el bucle con la componente tangencial de la velocidad. La componente normal de la velocidad se calcula mediante el producto escalar r2·v2
El módulo del vector posición r2 del punto P2 es el radio R de la circunferencia
La energía final de la partícula en el punto de impacto P2 es
La energía en el punto de impacto es menor que la energía de la partícula en el punto de lanzamiento
En la figura se muestran, las trayectorias parabólicas seguidas por la partícula, para distintos valores de la velocidad inicial v0 en la parte inferior del bucle.
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De la sección Trayectoria circular y parabólica
Gorielay A., Boulanger P, Leroy J., Toy models: The jumping pendulum. Am. J. Phys. 74 (9) September 2006, pp. 784-788
Trabajo y energía
(el bucle)
. Entonces
