Dinámica

Trabajo y energía

Trabajo y energía

El péndulo simple

El muelle elástico (I)

El muelle elástico (II)

El muelle elástico (III)

Partícula unida a 
una goma

Trabajo y energía
(el bucle)

El péndulo cónico

Equilibrio y 
estabilidad (I)

Equilibrio y 
estabilidad (II)

Equilibrio y 
estabilidad (III)

Equilibrio y 
estabilidad (IV)

Movimiento sobre
una cicloide (I)

Movimiento sobre
cúpula semiesférica

Movimiento sobre
sup. semicircular

Carrera de dos
esquiadores

Movimiento sobre
una cicloide (II)

Movimiento sobre
una parábola

Modelo simétrico

Modelo no simétrico

Actividades

Referencias

En esta página, vamos a estudiar el denominado modelo no simétrico de Alben que consiste en un tubo hueco de sección S, cerrado por ambos extremos, lleno con un gas ideal y que se dobla en forma de arco de radio r y ángulo 1+α radianes tal como se muestra en la figura.

Un émbolo de masa m que se puede desplazar a lo largo del tubo sin rozamiento, divide el gas en dos recintos. Cuando se coloca el émbolo en la posición θ=0, la presión p0 del gas es la misma en ambos recintos. Como el volumen de gas en la parte derecha es V0=S·r y el volumen de gas en la parte izquierda es αV0, el número de moléculas de gas que hay en la parte derecha es N y en la parte izquierda es αN, donde N es el número de Avogadro.

Este modelo nos va a permitir estudiar los estados de equilibrio estables e inestables, pero también los denominados estados metaestables, es decir, estados de equilibrio en los que el sistema puede permanecer un determinado tiempo, pero una perturbación puede llevarlos a un estado de equilibrio estable de más baja energía.

Energía potencial 

Vamos a determinar la posición de equilibrio θ del émbolo a una determinada temperatura T del gas.

Como vemos en la figura, las fuerzas tangenciales que actúan sobre el émbolo son:

• La fuerza debida a la presión que ejerce el gas contenido en el recinto izquierdo, p_iS

• La fuerza debida a la presión que ejerce el gas contenido en el recinto derecho, p_dS

• La componente del peso del émbolo, mgsenθ

La fuerza tangencial resultante es

F= mgsenθ+p_iS- p_dS

Aplicamos la ecuación de estado de los gases ideales, determinamos las presiones del gas p_i y p_d en ambos recintos.

p_i·V_i=αRT
p_d·V_d=RT

o bien

p_i·(S·(α+θ)·r)=αRT
p_d·(S·(1-θ)·r)=RT

Expresamos la fuerza en términos de la posición θ del émbolo o ángulo que forma con la dirección vertical.

La fuerza F deriva del potencial E_p(θ)

Situando el nivel cero de energía potencial en θ=0, de modo que E_p(0)=0

Modelo simétrico

El modelo de Alben se caracteriza por que es simétrico α=1 rad

Para una temperatura T inferior a un valor crítico T_c el émbolo forma un ángulo θ con la vertical. Dicho ángulo se calcula resolviendo la ecuación trascendente

que corresponde al ángulo para el cual la energía potencial presenta un mínimo.

Como vemos en la figura, θ=0 es una posición de equilibrio inestable

A medida que se incrementa la temperatura, la posición de equilibro estable se va acercando a θ=0. Para la temperatura crítica T_c ambas coinciden, θ=0 es un punto de inflexión.

Para calcular T_c, igualamos la derivada segunda de la energía potencial a cero cuando θ=0.

Para θ=0, d²E_p(θ)/dθ=0, resulta en

Modelo no simétrico

Para estudiar el modelo no simétrico, definimos la temperatura t adimensional como el cociente t=T/T_c. La energía potencial y la fuerza se expresan

En primer lugar, el origen θ  es una posición de equilibrio F=0, que puede ser estable o inestable. Por debajo de una cierta temperatura t_c es inestable y por encima es estable, lo mismo que ocurre en el modelo simétrico.

Calculamos la derivada segunda de la energía potencial

En la posición θ=0, la derivada segunda

La posición θ=0 pasa de inestable a estable a la temperatura t_c para la cual la derivada segunda se hace cero

Fijado el valor del parámetro α,  se va cambiando el valor de la temperatura t y se anota la posición de equilibrio estable para cada temperatura. Esta posición se calcula resolviendo la ecuación trascendente con F=0. Se representa:

• En el eje vertical, el ángulo θ en grados.

• En el eje horizontal, la temperatura reducida t.

A la temperatura t₁, se produce un cambio brusco en la posición del émbolo desde θ₁ a 0.  Por encima de esta temperatura el émbolo alcanza la posición de equilibrio estable θ=0. La temperatura t₁ y la posición del émbolo θ₁ se obtienen resolviendo el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

• Es una posición de equilibrio, F=0

• No es estable ni inestable, es un punto de inflexión, d²E_p(θ)/dθ=0,

Existen también equilibrios estables a la izquierda del origen, tal como se muestra en la figura

Estas posiciones de equilibrio se denominan metaestables. Si nos fijamos en la figura de la derecha, una pequeña perturbación llevará al sistema desde el estado M (un ángulo de equilibrio negativo) al estado E (un ángulo de equilibrio positivo).

Por ejemplo, para α=0.2, la temperatura t_c=0.333 a partir de la cual la posición de equilibrio θ=0 es estable. En el programa interactivo podemos comprobar que para la temperatura t₁=0.55 el émbolo cambia bruscamente de posición de θ₁=0.503 rad a θ=0 . Entre la temperatura t_c y la temperatura t₁ el origen θ=0 es un estado metaestable.

Actividades

Se introduce

• El parámetro α, un valor menor que la unidad, actuando en la barra de desplazamiento titulada Alfa.

• La temperatura reducida t, actuando en la barra de desplazamiento titulada Temperatura.

Se pulsa el botón titulado Calcula

Se representa a la izquierda, los dos recintos separados por un émbolo que contienen gas a la misma temperatura t.

A la derecha, se representa la energía potencial en función del ángulo θ, se señala la posición de equilibrio estable del émbolo.

Podemos cambiar la escala vertical de la figura, para apreciar mejor los máximos y mínimos, seleccionado un número en el control de selección titulado Escala.