Equilibrio y estabilidad en un sistema electromecánico (II)

prev.gif (1231 bytes)home.gif (1232 bytes)next.gif (1211 bytes)

Dinámica

Trabajo y energía
Trabajo y energía
El péndulo simple
El muelle elástico (I)
El muelle elástico (II)
El muelle elástico (III)
Partícula unida a 
una goma
Trabajo y energía
(el bucle)
El péndulo cónico
Equilibrio y 
estabilidad (I)
Equilibrio y 
estabilidad (II)
Equilibrio y 
estabilidad (III)
marca.gif (847 bytes)Equilibrio y 
  estabilidad (IV)
Movimiento sobre
una cicloide (I)
Movimiento sobre
cúpula semiesférica
Movimiento sobre
sup. semicircular
Carrera de dos
esquiadores
Movimiento sobre
una cicloide (II)
Movimiento sobre
una parábola

Equilibrio

Estabilidad

Aproximaciones

Histéresis

Referencias

 

Dos partículas idénticas cargadas de masa m con cargas q iguales y opuestas se cuelgan de dos hilos inextensibles de longitud d separados inicialmente x0, tal como se muestra en la figura.

Normalmente, la separación de las cargas x es una función continua de la carga de las partículas, q. Al aumentar la carga la separación disminuye. Sin embargo, para cierto valor de la carga qc de las partículas el sistema experimenta una transición discontinua a un nuevo estado de equilibrio en el que la separación x=0.

 

Equilibrio

Las cargas de distinto signo se atraen, acercándose a una distancia x. Los hilos forman un ángulo θ con la vertical.

Las fuerzas sobre cada una de las partículas son:

En el equilibrio

Dividiendo las dos ecuaciones eliminamos la tensión T del hilo

El ángulo θ está relacionado con la separación x entre las partículas, véase la primera figura

Calculamos la separación de equilibrio x, hallando la raíz de la ecuación

 

Estabilidad

Energía potencial del sistema formado por las dos cargas es la suma de la energía potencial gravitatoria, las cargas se elevan d-d·cosθ, y la energía potencial electrostática, que es negativa por ser la fuerza atractiva.

La posición de equilibrio es estable si la energía potencial es mínima en dicha posición, y es inestable si la energía potencial es máxima.

El signo de la derivada segunda de la energía potencial Ep(x) determina si la posición de equilibrio es estable (si es mayor que cero)  o inestable (si es menor que cero).

Aproximaciones

Cuando d>>x0, el ángulo θ es muy pequeño y podemos realizar las siguientes aproximaciones que simplifican notablemente los cálculos, tanθ≈senθ≈θ

La ecuación que calcula la separación de equilibrio x se convierte en

Tenemos que calcular las raíces de una ecuación cúbica

La energía potencial se aproxima a

A medida que se aumenta la carga q de las partículas, el máximo y el mínimo se acercan, para un cierto valor de la carga qc coinciden en el punto de inflexión

Despejamos x y lo introducimos en la ecuación cúbica que nos proporciona las posiciones de equilibrio

Si la carga de las partículas q>qc las dos partículas se juntan x=0.

Ejemplo:

  • Masa de las partículas m=0.001 kg

  • Carga de las partículas q=13·10-9 C

  • Longitud del hilo d=1.0 m

  • Separación entre las partículas no cargadas x0=0.2 m

Las raíces de la ecuación cúbica

x3-0.2x2+3.276·10-4 =0

cuyas raíces son

x1=-0.0362, x2=0.195, x3=0.0447 m

La primera no es físicamente posible, la segunda corresponde a un mínimo de la energía potencial (posición de equilibrio estable) y la tercera, corresponde a un máximo (posición de equilibrio inestable).

La carga crítica qc y la separación de equilibrio de las cargas es

Si la carga de las partículas q>qc las dos partículas se juntan, su separación x=0.

En realidad, las partículas tienen un tamaño y no pueden ocupar la misma posición.

 

Actividades

Se ha fijado

  • La masa de las partículas, m=0.001 kg

  • La longitud del hilo, d=1.0 m

  • La separación entre las partículas no cargadas x0=0.2 m

Se introduce

  • La carga q de las partículas en unidades 10-9 C, actuando en la barra de desplazamiento titulada Carga.

Se pulsa el botón titulado Calcular

Se representa a las dos partículas en la posición de equilibrio estable.

En la parte derecha del applet, se representa la energía potencial en Ep en función de la separación x entre las partículas. Se señala el máximo y el mínimo, si existen.

 
stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.
                                   
 

Histéresis

Se produce el fenómeno de la histéresis, cuando el sistema puede existir en varios estados estables para valores dados de las variables externas (o parámetros de control), y que éstos se pueden alcanzar por una variación lenta de los parámetros.  Un ejemplo típico es la magnetización de un material ferromagnético por un campo magnético externo.

El comportamiento del sistema físico que aquí se estudia está descrito por la separación x entre los centros de las cargas. El parámetro que cambia es la carga q de cada una de las esferas. En ciertos casos, cuando se alcanzan valores críticos de la carga q, el comportamiento del sistema experimenta un salto. Por otra parte, el comportamiento del sistema no es el mismo cuando se incrementa la carga que cuando se disminuye.

En este apartado, se describe una situación más realista que se produce cuando las cargas no son puntuales sino que tienen un tamaño finito. Para evitar los problemas derivados de la polarización de la carga de una esfera metálica en el campo de la otra, o de la descarga de las esferas en el momento en que entran en contacto. Supondremos que  las cargas puntuales están el centro de dos esferas aislantes rígidas de radio r.

La diferencia por tanto, entre las cargas puntales y las esferas de radio r estriba en que la separación mínima entre cargas puntuales es cero, mientras que la separación mínima entre esferas rígidas de radio r es 2r.

Como hemos visto en el apartado anterior,

  • Para cada carga q comprendida entre q=0 y q=qc, existen dos posiciones de equilibrio, una estable y otra inestable.

  • Cuando q=qc las dos posiciones de equilibrio coinciden en un punto de inflexión.

  • Cuando q>qc no hay posiciones de equilibrio para x>0

En la figura, vemos una representación tridimensional de la superficie Ep(q, x) en función de la carga q y de su separación x.

 En la figura inferior, se muestra:

  • En color azul, las posiciones de equilibrio estable x, para las cargas q comprendidas entre 0 y qc

  • En color rojo, las posiciones de equilibrio inestable x, para las cargas q comprendidas entre 0 y qc

Vamos a incrementar la carga de las esferas desde q=0 y a observar la separación x entre las mismas. El comportamiento del sistema sigue el camino ABCDEA, con dos cambios bruscos BC y DE. Como vemos, el camino de ida AB cuando la carga se incrementa de 0 a qc no coincide con el de vuelta BCDEA cuando la carga disminuye de qc a 0. A continuación, se explica las distintas etapas:

  • Etapa AB

Cuando la carga q se incrementa de 0 a qc la separación va disminuyendo desde x0 a xc dados por las expresiones.

El comportamiento del sistema viene descrito por la curva de color azul AB de la figura, que corresponde a las posiciones de equilibrio estable.

  • Etapa BC

Cuando la carga q supera el valor crítico qc se produce un cambio brusco BC, la separación entre las cargas puntuales sería cero, pero si son esferas rígidas de radio r la separación será x=2r.

  • Etapa CD

Si se disminuye la carga q, la separación de las esferas seguirá siendo x=2r ya que la energía potencial de esta configuración es la mínima posible, tal como se muestra en la figura

o es inferior al máximo adyacente, tal como se muestra más abajo. Como vemos, hay un máximo interpuesto que impide que la esfera alcance una posición de menor energía, en el mínimo de la parte derecha de la curva.

El comportamiento del sistema está descrito por la recta DE

El punto D corresponde a la carga ql para la cual la energía potencial alcanza un valor máximo cuando la separación entre cargas es x=2r. Ponemos x=2r en la ecuación cúbica que nos proporciona las posiciones de equilibrio y despejamos q

  • Etapa DE

Si q<ql se produce otro cambio brusco DE, la separación aumenta al valor correspondiente a la posición de equilibrio estable de ql.

Como una de las raíces de la ecuación cúbica es 2r buscamos las otras dos raíces a y b

Resolvemos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas a y b

b2-(x0-2r)b-2r(x0-2r)=0

La raíz positiva la llamamos xl

  • Etapa EA

Una vez que el sistema alcanza el punto E, retorna al punto de partida A a través de la porción de curva azul EA que corresponde a posiciones de equilibrio estable.

Ejemplo:

  • Masa de las partículas m=0.001 kg

  • Carga de las partículas q=13·10-9 C

  • Longitud del hilo d=1.0 m

  • Separación entre las partículas no cargadas x0=0.2 m

  • Radio de las esferas r=2 cm =0.02 m

El primer cambio brusco ocurre en el punto B, que corresponde a la carga crítica  qc y a la separación crítica xc calculada en el apartado anterior

qc=25.4·10-9 C, xc=13.3 cm

El segundo cambio brusco ocurre desde el punto D al punto E

El punto D corresponde a una separación 2r=0.04 m, y la carga ql de las esferas es

El punto E corresponde a la posición de equilibrio estable de las esferas cargadas con una carga ql

Actividades

Se ha fijado

  • La masa de las partículas, m=0.001 kg

  • La longitud del hilo, d=1.0 m

  • La separación entre las partículas no cargadas x0=0.2 m

Se introduce

  • El radio r de las esferas en cm, actuando en la barra de desplazamiento titulada Radio.

  • Se activa la casilla titulada Histéresis

Se pulsa el botón titulado Empieza

Observamos el comportamiento del sistema formado por las dos esferas cargadas, cuando la carga de aumenta y cuando disminuye. Los dos cambios bruscos de comportamiento que ocurren cuando q=qc en el camino de ida y cuando x=2r en el camino de vuelta.

  • La curva de color azul, corresponde a las posiciones x de equilibrio estable para cualquier carga comprendida entre 0 y qc.

  • La curva de color roja, corresponde a las posiciones x de equilibrio inestable para cualquier carga comprendida entre 0 y qc.

Activamos la casilla titulada Potencial

Observamos el comportamiento del sistema formado por las dos esferas cargadas, en relación a la curva de energía potencial para cada carga q. El sistema adopta la configuración de energía potencial mínima, compatible con que la separación mínima posible es 2r.

  • La carga q se da en unidades de 10-9 C

  • La energía potencial Ep(x) en unidades 10-6 J

 

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Referencias

Partensky P. D., Partensky M. B..Hanging by a thread. The Physics Teacher, 44 February 2006, pp. 88-91