Movimiento sobre una superficie parabólica

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Dinámica

Trabajo y energía
Trabajo y energía
El péndulo simple
El muelle elástico (I)
El muelle elástico (II)
El muelle elástico (III)
Partícula unida a 
una goma
Trabajo y energía
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esquiadores
Movimiento sobre
una cicloide (II)
marca.gif (847 bytes)Movimiento sobre
  una parábola

Ecuaciones del movimiento

Trabajo de la fuerza de rozamiento

Ejemplos

Actividades

Radio de curvatura

Referencias

 

En esta página, describiremos el movimiento de una partícula de masa m parte del reposo desde la posición x0 y desliza a lo largo de una superficie parabólica en posición vertical de ecuación y=ax2/2.

 

Ecuaciones del movimiento

Las fuerzas que actúan sobre la partícula cuando se encuentra en la posición x, moviéndose hacia la derecha son:

  • El peso, mg

  • La reacción de la superficie, N

  • La fuerza de rozamiento, Fr=μN, siendo μ el coeficiente de rozamiento

Cuando la partícula en el instante t, se encuentra en la posición x, el vector velocidad v (cuya dirección es tangente a la trayectoria) forma un ángulo θ con el eje X.

Movimiento hacia la derecha

La partícula inicialmente en reposo, parte de la posición x0, y se moverá hacia la derecha si la componente tangencial del peso es mayor que la fuerza de rozamiento

mgsen0|μsmgcosθ0     tan0|μs 

Siendo μs el coeficiente de rozamiento estático

Descomponemos las fuerzas, y escribimos las ecuaciones del movimiento a lo largo del eje X y del eje Y

Relacionamos x e y y sus derivadas respecto del tiempo t

Eliminando N de las dos ecuaciones del movimiento, nos queda la ecuación diferencial

      (1)

Resolvemos la ecuación diferencial por procedimientos numéricos, con la condición inicial de que la partícula está en reposo vx=dx/dt=0 en el instante t=0, cuando se encuentra en la posición x0.

Posición de pausa

La partícula se mueve hacia la derecha, hasta que se para momentáneamente en la posición x1. Para calcular esta posición trasformamos la ecuación diferencial de segundo orden en una de primer orden.

Integramos la ecuación diferencial entre x0 ó θ0 donde la velocidad es 0 y x ó θ donde la velocidad de la partícula es vx.

               (2)

En la posición θ=θ1 la velocidad es cero, esta posición se calcula poniendo vx=0 en la ecuación anterior y resolviendo la ecuación trascendente

               (3)

Una vez calculado la raíz θ1, se calcula la posición x1 a partir de tanθ1= a·x1

Movimiento hacia la izquierda

Cuando la partícula llega a la posición x1, se para momentáneamente e inicia el camino de vuelta si la fuerza de rozamiento es menor que la componente tangencial del peso

mgsenθ1μmgcosθ1     tan θ1μ 

La fuerza de rozamiento cambia de sentido, y las ecuaciones del movimiento son

Eliminando N de las dos ecuaciones del movimiento nos queda la ecuación diferencial

Es la misma ecuación que hemos obtenido anteriormente (1) cambiando μ→-μ

La partícula sale de la posición x1 se mueve hacia la izquierda y se para en la posición x2, que se obtiene resolviendo la ecuación trascendente (3) en la que se ha efectuado el cambio  μ→-μ

Una vez calculado la raíz θ2, se calcula la posición x2, tal que tanθ2= a·x2

Y así sucesivamente, hasta que el ángulo tann|<μ

 

Trabajo de la fuerza de rozamiento

Fr=μN es la fuerza de rozamiento

dr es el vector desplazamiento cuyo módulo es ds.

Calculamos la reacción N de la superficie

La ecuación del movimiento en la dirección normal es

donde ρ es el radio de curvatura y el punto C el centro de curvatura

Buscamos en un libro de cálculo diferencial e integral, el capítulo de nociones básicas de geometría diferencial, y copiamos la fórmula que nos da el radio de curvatura de una función y=f(x) en un punto de abscisa x.

Para la parábola de ecuación

Sabiendo que la componente x de la velocidad de la partícula (2) vale

La reacción de la superficie N es

Calculamos el trabajo W

Balance energético

Podemos calcular el trabajo W, como diferencia entre la energía final (cuando la partícula se encuentra en la posición x)  y la energía inicial 8cuendo la partícula se encuentra en la posición x0)

Expresamos las variables y y v en función del ángulo θ  de la tangente a la curva.

Sabiendo que la componente x de la velocidad de la partícula (2) vale

Después de realizar algunas operaciones llegamos a la misma expresión para el trabajo W.

Ejemplos

  • Sea la parábola y=x2, con a=2.0.

  • El coeficiente de rozamiento vale μ=0.1

  • La partícula sale de la posición x0=-2.0.

  1. Determinar la velocidad de la partícula cuando pasa por el punto más bajo de la trayectoria x=0.0

El ángulo que forma la recta tangente a la curva con el eje X en el punto x0=-2.0 es

tanθ0=ax0, θ0=-1.32 rad

El ángulo que forma la recta tangente a la curva con el eje X en el punto x=0.0 es θ=0.0 rad.

Calculamos la componente X de la velocidad vx y a continuación, el módulo de la velocidad v.

  1. Posiciones de pausa

La posición de pausa se calcula resolviendo la ecuación trascendente

como tanθ1>μ la partícula desliza hacia la izquierda, hasta que se detiene momentáneamente en la posición que se calcula resolviendo la ecuación trascendente en la que se ha sustituido μ→-μ

como tan2|>μ la partícula desliza hacia la derecha

y así sucesivamente, hasta que tann|<0.1

  1. Efectuamos el balance energético entre las posiciones inicial x=-2.0 y la posición x=0 .

Energía inicial cuando la partícula se encuentra en x0=-2.0

La energía final cuando la partícula se encuentra en x=0

Trabajo de la fuerza de rozamiento

Comprobamos que W=E-E0

 

Actividades

Se introduce

  • El coeficiente de la fuerza de rozamiento actuando en la barra de desplazamiento titulada Coef. rozamiento

  • El valor del parámetro a que describe la superficie parabólica, actuando en la barra de desplazamiento titulada Parámetro

Se pulsa el botón titulado Inicio

  • Se establece la posición de partida de la partícula arrastrando con el puntero del ratón sobre la flecha de color rojo.

Se pulsa el botón titulado Empieza

Se observa el movimiento de la partícula. Sobre el eje X aparecen señaladas las posiciones de pausa o paro momentáneo de la partícula.

También se representa de forma gráfica el balance energético

 

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Arrastrar con el puntero del ratón la flecha de color rojo

 

Radio de curvatura

En el lenguaje ordinario, decimos que un trozo de carretera Δs tiene más curvatura que otro cuando el cambio de dirección Δθ es mayor a igualdad de camino recorrido en ambos. Compárese la figura de la izquierda con la de la derecha.

 

El radio ρ de curvatura medio e instantáneo se definen, respectivamente,

El radio de curvatura ρ  y el centro C de curvatura se determinan del siguiente modo: Se traza la tangente a un punto de la trayectoria y a continuación, se traza la normal. Se toma un punto muy próximo al anterior, se traza la tangente y la normal en dicho punto.

Las normales se cortan en un punto denominado centro de curvatura C, y la distancia de C a uno u otro punto de la trayectoria, infinitamente próximos entre sí, se denomina radio de curvatura ρ.

Si el ángulo comprendido entre las dos tangentes es , este es el ángulo que forman las dos normales. La longitud del arco entre los dos puntos considerados es ds=ρ·dθ .

Dada la función y=f(x), vamos a determinar la fórmula que nos permite calcular el radio de curvatura ρ de la curva en la posición de abscisa x.

Como vemos en la figura, en el triángulo rectángulo de base dx, altura dy e hipotenusa ds, establecemos las siguientes relaciones

La fórmula del radio de curvatura es

El radio de curvatura es una cantidad positiva

Referencia

Puig Adam P. Cálculo Integral Aplicado a la Física y Técnica. Biblioteca Matemática, 1972, pág. 286-287

 

Referencias

Lapidus I R. Motion of a harmonic oscillator with variable sliding friction. Am. J. Phys. 52 (11) November 1984, pp. 1015-1016